確率変数は関数

確率変数は関数である、という事が解りにくいのは、説明においてしばしば、いつの間にか標本空間が省略され、確率変数と確率との対応だけの話になっているから、ではないかと思います。本当は、ここをしっかり解説するのが良いのではないでしょうか。
たとえば、ホーエルの『初等統計学』や、結城浩さんの『乱択アルゴリズム』などでは、この辺りについての説明があります。
後、勉強していて痛感したのが、これらの概念を理解するには、そもそも関数とは何かから解っていなくてはならず（何しろ、確率変数も確率関数も関数なのだから）、また、連続とは何か、も理解している必要があり、それらが理解出来るためには、集合論とか解析学を勉強しなくてはならない、という事でした（だから、集合論から勉強しています）。ですから、入門書でも、ここら辺への案内を適当に加えると、もっと見通しが良くなるのではないかと思います。
追記：
この本 プレステップ統計学II 推測統計学 - PRE-STEP プレステップ の確率変数の説明 http://www.prestep.jp/series/img/toukeigaku2/book.pdf （PDF）なんかはいいですね。