スミスさんの子ども
ある夫婦に2人子供がいる。片方の子が男であるとき、もう片方が女である確率は？
この種の問題の定番として、男女の生まれる確率が等しい（1/2）とします。実際の出生性比は異なるようですが、こういう問題では現象をシンプルに構成し直して、数学的構造に一致させて理解を促す訳ですね。要するに、完璧な（理想的・仮想的にしか設定し得ない）コインを2回投げたベルヌーイ試行を考えるって事です。だから、そうするよとちゃんと言って共有しなければなりません。
この前提だと、いまいる世界は、ある夫婦に生まれた2人1組の子どもが
- (女, 女)
- (男, 男)
- (男, 女)
- (女, 男)
のいずれかの世界であってそれ以外では無く、それぞれ全く等しい機会で与えられます。ここで、片方の子が男であるとき、
なる条件が与えられるので、いまいる世界の可能性は、
(女, 女)- (男, 男)
- (男, 女)
- (女, 男)
こうなります。そして、問われているのはもう片方が女である確率
です。確率は割合の事なので、
(男, 女)か(女, 男)
÷
(男, 男)か(男, 女)か(女, 男)
です。それぞれの世界にいる可能性は等しいので、割合は2/3です。
片方の子が男であるとき
との表現が微妙なので、少なくともどちらかいっぽうが男のように書く場合もあります。ただ、直後にもう片方が
と訊いているから、そんなに読み取りにくいものでもありません。
表現が女, 男だと、結果が順序対で構成されるのを理解しない向きもあるので、
- (姉妹)：しまい
- (兄弟)：きょうだい
- (兄妹)：けいまい
- (姉弟)：してい
としても良いです。漢字だとごちゃごちゃしますね。そうすれば確率は、
と表現出来ます。これだったら、その家の子たちは姉妹では無いと言ったほうが良いですね。どちらかが男の子であるなどと、意地の悪い言いかたをするものです（片方がやどちらかがと言われるとXORで読みそうになる）。
この種の問題って、最初にひっかけ問題に違い無いとか問題文の細かい所を指摘しようみたいな心理も働きますね。だからこそ面白い、のかも知れませんが。
この問題、別の出しかたもあります。
ある夫婦に2人子どもがいる。その夫婦が子ども1人を連れて歩いているのを見た所、男であった。もう片方が女である確率は？
こんな感じ。答えは1/2です。何故なら、あり得る世界の可能性は、その夫婦の子どもの構成と実際に見た子どもとが
の8通りに分かれるからです。もちろんここでは、それぞれの子どもを見る確率は等しいという、よく解らない前提が必要です。で、男の子を見たのですから、いまいる世界は、
この4通りに絞られます。訊かれているのは、もういっぽうが女の子である確率（割合）なので、それは、
兄妹で兄を見た か 姉弟で弟を見た
÷
兄弟で兄を見た か 兄弟で弟を見た か 兄妹で兄を見た か 姉弟で弟を見た
となり、1/2です。
こういうので納得行かないのは、どうしても日常的現象に近づけて理解しようとするからですね。子どもが2人いると知っているのに男女構成や年齢を知らない事があるのか、などです。都合よく情報が無い訳です。だから、だとしたらと、現実からかけ離れた設定を、そういうものだと受け入れるのがポイントかと思います。
もう1つ面白い所。
先ほど書いたように、男, 女だと、結果が順序対というのが現象的に解りにくいです（慣れれば何とも無いですが）。同じように、コイン投げで表, 裏としても解りにくい。でも、子どものペアの場合、姉弟兄妹と、生まれた順序で表現を変える事が出来ます。更に同時に、現実的にはちょっと無理があるとは言え、目撃しても区別がつかないとの条件をも設定出来る訳です。これをたとえば、コイン投げで区別をつけようとして、金貨と銀貨を投げるとしたらどうでしょう。結果は、
- 金表
- 金裏
- 銀表
- 銀裏
このように区別しやすいですが、目撃するほうの問題を設定しづらい。だって、金貨と銀貨は一般に区別出来ますからね。これを区別出来ないよう設定するとなると、視覚を制限するような設定が必要となり、それは色々デリケートだし、思い浮かべる状況が、無駄に複雑となります。
2022年11月4日追記
増田についているトラックバック等を見て、片方
なる表現について、もうちょっと考えてみました。
たぶん、問題を見て1/2と言う思う人は、
縦に切っている
のではないでしょうか。つまり、
- 男－男
- 男－女
- 女－男
- 女－女
↑これを縦に切って、
- 上の子
-
- 男
- 男
- 女
- 女
- 下の子
-
- 男
- 女
- 男
- 女
↑こう捉える。で、片方が男なので、
- 上の子
-
- 男
- 男
女女
- 下の子
-
- 男
女- 男
女
↑このように絞られ、上の子であるか下の子であるかも絞られると解釈する。そうすると、前者でも後者でも、もう片方の子が女である確率は1/2です。と言うか、その場合は、単に女の子が生まれる確率は？と問われているのと同じなので、問題に含まれる前提そのものです。
